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全国自考2008年7月线性代数试卷
课程代码：02198
试卷说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示A的伴随矩阵；秩（A）表示矩阵A的秩；|A|表示A的行列式；E表示单位矩阵。
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设3阶方阵A=[α1，α2，α3]，其中αi（i=1，2，3）为A的列向量，且|A|=2，则
|B|=|[α1+3α2,α2,α3]|=( )
A.-2 B.0
C.2 D.6
2.若方程组有非零解，则k=( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
3.设A，B为同阶可逆方阵，则下列等式中错误的是( )
A.|AB|=|A||B| B.（AB）-1=B-1A-1
C.（A+B）-1=A-1+B-1 D.（AB）T=BTAT
4.设A为三阶矩阵，且|A|=2，则|（A*）-1|=( )
A. B.1
C.2 D.4
5.已知向量组A：α1，α2，α3，α4中α2，α3，α4线性相关，那么( )
A.α1，α2，α3，α4线性无关 B.α1，α2，α3，α4线性相关
C.α1可由α2，α3，α4线性表示 D.α3，α4线性无关
6.向量组α1，α2，…αs的秩为r，且r＜s，则( )
A.α1，α2，…αs线性无关
B.α1，α2，…αs中任意r个向量线性无关
C.α1，α2，…αs中任意r+1个向量线性相关
D.α1，α2，…αs中任意r-1个向量线性无关
7.若A与B相似，则( )
A.A，B都和同一对角矩阵相似 B.A，B有相同的特征向量
C.A-λE=B-λE D.|A|=|B|
8.设α1，α2是Ax=b的解，η是对应齐次方程Ax=0的解，则( )
A.η+α1是Ax=0的解 B.η+（α1-α2）是Ax=0的解
C.α1+α2是Ax=b的解 D.α1-α2是Ax=b的解
9.下列矩阵为正交矩阵的是( )
A. B.
C. D.
10.设A=，则二次型f (x1，x2)=xTAx是( )
A.正定 B负定
C.半正定 D.不定
二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
请在每小题的空格中填上正确安全。错填、不填均无分。
11.设A=，B=，则AB=________.
12.已知α=（1，2，3），则|αTα|=________.
13.设A=，则A*=________.
14.设A为4×5的矩阵，且秩（A）=2，则齐次方程Ax=0的基础解系所含向量的个数是________.
15.设有向量α1=（1，0，-2），α2=（3，0，7），α3=（2，0，6）.则α1，α2，α3的秩是________.
16.方程x1-x2+x3=0的结构解是________.
17.设A满足3E+A-A2=0，则A-1=________.
18.设三阶方阵A的三个特征值为1，2，3.则|A+E|=________.
19.设α与β的内积（α，β）=2，||β||=2，则内积（2α+β，-β）=________.
20.矩阵A=所对应的二次型是________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.计算6阶行列式
22.已知矩阵A=，且ABA-1=BA-1+2E，求B.
23.求向量组α1=（1，2，1，3），α2=（4，-1，-5，-6），α3=（1，-3，-4，-7）的秩和其一个最大无关组.
24.当a，b为何值时，方程组有无穷多解？并求出其结构解.
25.已知A=，求其特征值与特征向量.
26.用正交变换化二次型f (x1, x2, x3)=为标准型，并给出所用的正交变换.
四、证明题（本大题共1小题，6分）
27.已知向量组α1，α2，α3线性无关，且β1=α1-α2，β2=2α1+2α2+α3，β3=α1-α2+2α3.证明向量组β1，β2，β3线性无关.
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