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浙江省2008年1月高等教育自学考试
微分几何试题
课程代码：10022
一、判断题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。
1.空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的位置.( )
2.曲线=(s)为一般螺线的充要条件为（）=0.( )
3.曲面在任一点有且仅有二个主方向.( )
4.曲面上的曲纹坐标网为曲率线网的充要条件为F =M =0.( )
5.曲面上抛物点对应的杜邦指标线是一对平行直线.( )
6.曲面上的曲线为曲率线的充要条件为沿此曲线的法线组成一可展曲面.( )
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1.向量函数(t)具有固定方向的充要条件是___________.
2.与主法线垂直的平面称为___________.
3.曲面上的直线一定是测地线，也是___________.
4.可展曲面的高斯曲率___________.
5.曲面三个基本形式之间有关系式___________.
6.曲面上圆点的第一、第二类基本量满足关系___________（L、M、N不全为零）.
三、完成下列各题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1.求曲线={}的弧长.
2.证明曲线{asin2t,sin 2t,acos t}=的法平面过坐标原点.
3.证明曲面={u,v,sin u+cos(u+v)}上任意点都是正则点.
4.求椭圆柱面={acos u, bsin u, v}的切平面方程.
5.判断I=(u2+1)du2-2(u+v)dudv+(v2+1)dv2能不能作为曲面的第一基本形式，给出理由.
6.证明直纹面={ucos v,usin v,au+bv}(b≠0)不是可展曲面.
四、完成下列各题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）
1.求圆柱螺线(t)={acos t, asin t,bt }的曲率与挠率.
2.设曲线(C)：=(s)，k≠0，求向量(s)，使得
.
3.求曲面={ucos v,usin v, u2}的第二基本形式.
4.求环面={(b+asin u)cos v,(b+asin u)sinv, acos u}(0≤u≤2π,0≤v≤2π)的第一基本量及其曲面面积.
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