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浙江省2008年1月高等教育自学考试
近世代数试题
课程代码：10025
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
１.设m是一个正整数，a∈Z,作带余除法：a=mq+r,0≤r<m,规定：f(a)=r.则f是Z的( )
A.满变换 B.单变换
C.一一变换 D.既不是满变换也不是单变换
2.有理数集Q上的代数运算=b3( )
A.既适合结合律又适合交换律 B.适合结合律但不适合交换律
C.不适合结合律但适合交换律 D.既不适合结合律又不适合交换律
3.剩余类加群Z8的子群有( )
A.4个 B.5个
C.6个 D.7个
4.在3次对称群S3中可以与(132)交换的所有元素为( )
A.(1)，(132) B.(12)，(13)，(23)
C.(1)，(123)，(132) D.S3中的所有元素
5.M2(R)=按矩阵的加法和乘法构成R上的二阶方阵环,这个方阵环是( )
A.有单位元的交换环 B.无单位元的非交换环
C.无单位元的交换环 D.有单位元的非交换环
二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
6.设A={a,b,c,d,e,f}，则A的一一变换共有________个.
7.在非零实数乘法群R*中，阶为2的元有________个.
8.在4次对称群S4中，(132)2(1234)-1=________.
9.模10的剩余类加群Z10有________个生成元.
10.模P（素数）的剩余类环Zp有________个可逆元.
11.模9的剩余类环Z9的零因子为________.
12.设Z［x］是整系数多项式环，则Z［x］的理想(3,x)＝________．
13.主理想环与欧氏环的关系是________.
14.在,2i+1,π中，________是有理数域Q上的代数元.
15.在有理数域Q上的极小多项式是________．
三、解答题（本大题共3小题，第１6小题10分,第17小题14分，第18小题6分,共30分）
16.设M是一个非空集合，2M是M的幂集（M的子集的全体称为M的幂集），问2M关于集合的交∩是否构成群？试说明理由.
17.找出模20的剩余类环Z20的所有子环．并说明这些子环是否是Z20的理想，为什么？
18.Z3={［0］,［1］,［2］}，找出加群Z3的所有自同构，再找出域Z3的所有自同构.
四、证明题（本大题共3小题，第19小题6分,第20小题9分,第21小题10分,共25分）
19.设A=｛平面上所有直线｝，给定关系～：l1～l2l1∥l2或l1=l2.
证明：关系～是A元间的等价关系.
20.假定G是一个循环群，N是G的一个子群，证明：G/N也是循环群.
21.设R=关于矩阵的加法和乘法构成一个环，I=，
证明：I是R的理想，问商环R/I由哪些元素组成？
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