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浙江省2011年7月自学考试高等几何试题


 
试题类型:WORD文档 试题时间:2011年7月
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浙江省2011年7月自学考试高等几何试题
课程代码:10027
本试卷分A、B卷,使用1983年版本教材的考生请做A卷,使用2007年版本教材的考生请做B卷;若A、B两卷都做的,以B卷记分。
A卷
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题2分,共10分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.在三角形的以下性质中是仿射性质的是( )
A.垂心 B.重心
C.内心 D.外心
2.与点(1,i,1+i)是同一点的是( )
A.(i,1+i,1) B.(1-i,i+1,2)
C.(1+i,i-1,0) D.(1+i,1-i,2)
3.在平面内的射影坐标系A1,A2,A3,E中,直线A1A2的方程是( )
A.x1=0 B.x2=0
C.x3=0 D.x1+x2+x3=0
4.二次曲线的图形是( )
A.两条实直线 B.两条虚直线
C.实常态二阶曲线 D.虚常态二阶曲线
5.抛物线的主轴有( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
二、填空题(本大题共5小题,每小题2分,共10分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
6.仿射变换将菱形变为_________.
7.两直线-3x1+2x2+2x3=0,2x1-x2+3x3=0的交点坐标是_________.
8.若(AB,CD)=a,则(AD,CB)=_________.
9.若对合aμμ′+b(μ+μ′)+c=0是双曲型的,则系数满足_________.
10.无穷远直线关于二次曲线的极点(有限点)称为二次曲线的_________.
三、计算题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)
11.求仿射变换的自对应直线.
12.求过点(1+i,2-i,2i)的实直线方程.
13.已知对合的两对对应元素为1→2,0→4,求对合的方程,并求其二重元素.
14.求一射影变换,它使点(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0),(0,0,1)分别变为(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,1).
15.求直线-2x1+3x2+3x3=0关于二阶曲线的极点.
16.求二次曲线的中心。
四、作图题(本大题共2小题,每小题8分,共16分)(写出作法)
17.已知A,A′;B,B′是对合对应的两对对应点,求作点C的对应点C′.
作法:

18.已知椭圆及其外一点P,求作它的两条切线.
作法:

五、证明题(本大题共3小题,第19小题和第20小题各10分,第21小题8分,共28分)
19.设点A,B,C,D是四个不同的共线点,若(AB,CD)=(BC,DA),证明(AC,BD)=-1.
20.如图,设P是二次曲线Γ外一点,过P作Γ的两条割线分别交Γ于A,B和C,D,令Q=AD×BC,R=AC×BD,设QR交Γ于S,T两点。试用极点极线理论证明PS,PT是两条切线。

21.设三角形ABC的内角平分线顺次交对边于点L,M,N,三角形LMN顺次交原三角形于P,Q,R,则P,Q,R三点共线.
B卷
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题2分,共10分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.以下性质不是仿射不变量的是( )
A.交比 B.简比
C.线段比 D.面积比
2.齐次方程表示( )
A.两点(1,0,2)和(2,0,1) B.两点(1,0,-2)和(2,0,-1)
C.两线[1,0,2]和[2,0,1] D.两线[1,0,-2]和[2,0,-1]
3.若交比(AB,CD)=3,则(CB,DA)=( )
A. B.
C. D.-2
4.二次曲线的图形是( )
A.两条实直线 B.两条虚直线
C.实常态二阶曲线 D.虚常态二阶曲线
5.以下齐次仿射坐标方程所表示的二次曲线是双曲线的是( )
A.x2+y2+t2=0 B.x2+y2-t2=0
C.x2-y2+t2=0 D.y2-2xt=0
二、填空题(本大题共5小题,每小题2分,共10分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
6.等腰梯形在仿射变换下变为_________.
7.过点(2+2i,1-i,3i)的实直线方程为_________.
8.仿射几何的基本不变量是_________.
9.二次曲线的两条渐近线交于_________.
10.除圆以外的有心二次曲线有_________条主轴.
三、计算题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)
11.求使三点A(0,0),B(1,1),C(1,-1)变到三点A′(1,1),B′(3,1),C(1,-1)的仿射变换.
12.求联接点(1,2,-1)与二直线[2,1,3],[1,-1,0]之交点的直线的方程.
13.已知平面上有点A(1,1),B(4,2),C(5,-3),D(-3,2),E(-5,1),求交比A(BC,DE).
14.求二维射影变换方程,它使点(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1)分别变为(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1),使直线[1,1,1]变为直线[0,0,1].
15.求点(1,1,1)关于二阶曲线的极线.
16.求二次曲线x2+2xy-2x+4y+2=0的渐近线方程.
四、作图题(本大题共2小题,每小题8分,共16分)(写出作法)
17.已知共点三线a,b,c,求作另一线d,使a,b,c,d成调和线束.

18.已知椭圆及其内一点P,求作它的极线.




五、证明题(本大题共3小题,第19小题和第20小题各10分,第21小题8分,共28分)
19.证明在仿射变换下,两个不变点的连线上的任何点都是不变点.
20.设三点形ABC三边BC,CA,AB分别与二阶曲线切于P,Q,R,QR与BC交于点X,求证(BC,XP)=-1.

21.设△ABC的高线为AD,BE,CF,记X=BC×EF,Y=AC×DF,Z=AB×DE,求证三点X,Y,Z共线.


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