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浙江省2011年4月自学考试高等几何试题


 
试题类型:WORD文档 试题时间:2011年4月
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浙江省2011年4月自学考试高等几何试题
课程代码:10027
本试卷分A、B卷,使用1983年版本教材的考生请做A卷,使用2007年版本教材的考生请做B卷;若A、B两卷都做的,以B卷记分.
A卷
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题2分,共10分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.
1.以下性质是仿射性质的是( )
A.三角形的三条高共点 B.三角形的三条中线共点
C.三角形的三条内角平分线共点 D.三角形的三边中垂线共点
2.与点(2,i,1-i)是同一点的是( )
A.(1+i, , i) B.(2 i,1, i-1)
C.(2+2 i, i-1,0) D.(1+ i,,1)
3.射影几何的基本不变性是( )
A.平行性 B.接合性
C.正交性 D.相交性
4.两个重叠而又成射影对应的一维几何形式,按照自对应元素的不同可分为( )
A.2类 B.3类
C.4类 D.5类
5.以下说法不正确的是( )
A.自极三角形中每个顶点都是其对边的极点
B.自极三角形的顶点关于二次曲线两两共轭
C.自极三角形中每条边都是其对顶点的极线
D.完全四点形的对角三角形是自极三角形
二、填空题(本大题共5小题,每小题2分,共10分)
请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.
6.平面内的透视仿射由_________完全决定.
7.过点(2+2 i,1-i,3 i)的实直线方程为_________.
8.完全四点形通过每一个对角点有一组调和线束,即通过这对角点的两边和_________.
9.二次曲线的两条渐近线交于_________.
10.在欧氏平面上,二次曲线的焦点的极线叫做_________.
三、计算题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)
11.求使三点A(0,0),B(1,1),C(1,-1)变到三点A’(2,3),B’(2,5),C’(3,-7)的仿射变换.
12.设共线四点A(2,1,-1),B(4,-1,3),C(5,1,0),D(3,3,-4),求交比(AB,CD),(CA,BD).
13.求对合方程,两对对应点的参数各为2与0,1与4,并确定该对合所属类型.
14.求射影变换的二重点.
15.求直线3x1-x2+6 x3=0关于二阶曲线的极点.
16.求二次曲线的中心.
四、作图题(本大题共2小题,每小题8分,共16分)(写出作法)
17.设a,b为平面内两直线,P为不在a,b上的一点,不作出a,b的交点,求作过a,b的交点和P的直线.

题17图
18.已知二阶曲线上五点,求作其上第六点.

题18图
五、证明题(本大题共3小题,第19、20小题各10分,第21小题8分,共28分)
19.设△ABC的高线为AD,BE,CF,记X=BC×EF,Y=AC×DF,Z=AB×DE,求证三点X,Y,Z共线.
20.设A,A’;B,B’是对合的两对对应元素,E,F是二重元素,证明:A,B;A’,B’;E,F属于另一对合.
21.内接于圆的两个三角形ABC,A’B’C’中,记P=AB×A’B’,Q=BC×B’C’,X=CA’×C’A,则P,Q,X三点共线.

题21图
B卷
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题2分,共10分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.
1.下列哪个量不是仿射不变量( )
A.共线三点的简比 B.两条平行线段的比
C.任意两个图形的面积之比 D.两个三角形边长之比
2.直线(2,i,3-4i)上的实点的齐次坐标是( )
A.(3,8,-2) B.(3,8,2)
C.(3,-8,2) D.(3,-8,-2)
3.中心投影具有性质( )
A.保持平行性质 B.保持单比不变
C.保持交比不变 D.保持面积不变
4.若线束S的四直线a,b,c,d被任何一条直线s截于四点A,B,C,D,且(ab,cd)=-1,则(AC,DB)=( )
A.- B.2
C.-1 D.
5.平行四边形的仿射对应图形是( )
A.长方形 B.四边形
C.菱形 D.平行四边形
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.
6.完全四线形调和性质的内容是_________.
7.无穷远直线的坐标是_________.
8._________叫做迷向直线.
9.仿射几何的变换群是_________,其基本不变图形是_________.
10.几何公理的三个基本问题中,第三个基本问题是_________.
三、计算题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)
11.设P1(1,1,1),P2(2,-1,1),P4(5,-1,3)为共线三点,且(P1 P2, P3 P4)=2,求P3的坐标.
12.求二次曲线过点(1,2,1)的切线方程.
13.求二次曲线x2-y2+3x+y-2=0平分与直线2x+y=0平行的弦的直径方程.
14.求直线l到自身的射影变换式,使P1(0),P2(1),P3(3)分别对应点(1),(-2),(0),并求出无穷远点的对应点.
15.求由两个成射影对应λ’λ+2λ-λ’=0的线束x1+2x2-λx3=0和x1+λ’x2=0所构成的二阶曲线的方程.
16.经过A(-3,2)和B(6,1)两点的直线被直线x+3y-6=0截于P点,求简比(ABP).
四、作图题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
17.已知:一条非退化二阶曲线c上五点1,2,3,4,5;利用帕斯卡定理,求作点5处的切线.(要求写出作法)



18.已知直线L上对合Φ的二个二重点m,n,作出任意点x的像x’.(要求写出作法)

五、证明题(本大题共3小题,每小题7分,共21分)
19.在内接于椭圆的两个三点形ABC与A’B’C’中,设AB∩A’B’=P,BC∩B’C’=Q,CA’∩C’A=R,证明P,Q,R三点共线.
20.证明:三角形的三条中线共点.
21.证明射影变换(1)只有一个二重点及通过该点的一条二重直线.


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