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浙江省2008年7月高等几何真题
课程代码：10027
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.下列哪个图形是仿射不变图形？( )
A.圆 B.直角三角形
C.矩形 D.平行四边形
2.在两相交直线的中心射影下，这两直线中的每一条直线上( )
A.没有影消点 B.有一个影消点
C.有两个影消点 D.不能确定有没有影消点
3.两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成？( )
A.一次 B.两次
C.三次 D.四次
4.下列变换的集合中，不构成变换群的是( )
A.只含一个平移变换的集合 B.所有以原点为心的旋转变换的集合
C.平面上所有平移变换的集合 D.只有一个恒等变换的集合
5.二次曲线按射影分类总共可分为( )
A.4类 B.5类
C.6类 D.8类
二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
6.若共点四直线a,b,c,d的交比为(ab,cd)=-1，则交比(ad,bc)=______。
7.平面射影几何的基本不变性质和不变量分别是______。
8.设A,B,C,D是非退化二阶曲线Γ上四点，P,Q是Γ上任意两点，则两线束P(A,B,C,D)与Q(A,B,C,D)成______。
9.在仿射平面上，常态无心二次曲线有______。
10.欧氏平面上两个圆点的齐次坐标分别为______和______。
三、计算题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)
11.平面上经过A（-3，2）和B（6，1）两点的直线被直线x+3y-6=0截于P点，求简比(ABP)。
12.已知拓广欧氏平面上直线l的非齐次坐标方程为x-2y+1=0，求
（1）l的齐次坐标方程；
（2）l上无穷远点的坐标；
（3）l上无穷远点的方程。
13.求点列上的射影变换，它将参数为1,2,3的点分别变为参数为1,3,2的点。
14.求射影变换ρx1′=-x1,ρx2′=x2,ρx3′=x3的二重直线。
15.求点P(1,-1,0)关于二次曲线Γ：3x+5x+x+7x1x2+4x1x3+5x2x3=0的极线。
16.试求二次曲线Γ：+2x1x3-4x2x3=0的中心与渐近线。
四、作图题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）（只写出作图步骤）
17.如图，在平面上已知过点L的三条直线a,b,c，求作过L的第四条直线d，使得c与d调和分割a,b。
题17图
18.如图，已知常态二次曲线Γ上五点A,B,C,D,E（Γ未给出），求作Γ上其余任一点X。
题18图
五、证明题(本大题共3小题，第19小题和第20小题各10分，第21小题8分，共28分)
19.试证：一角的两边和它内外角的平分线成调和线束。
20.如图，设FGH是完全四点形ABCD的对角三点形，过F的两直线分别交于AB，BC，CD，DA于T，S，Q，P.试利用代沙格定理证明：交点M=TS×QP在直线GH上。
题20图
21.如图，设P是二次曲线Γ外一点，过P作Γ的两条割线分别交Γ于A,B和C,D，令
Q=AD×BC，R=AC×BD，设QR交Γ于S,T两点。试用极点极线理论证明PS,PT是两条切线。
题21图
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