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2007年4月全国自考概率论与数理统计(二)真题参考答案


 
试题类型:WORD文档 试题时间:2007年4月
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2007年4月全国自考概率论与数理统计(二)真题参考答案
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项
中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均
无分。

1. 设A与B互为对立事件,且P(A)>0,P(B)>0,则下列各式中错误的是()
A. P(A)=1-P(B)
B. P(AB)=P(A)P(B)
C. P(AB)=1
D. P(A∪B)=1
答案:B

2. 设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,则P(A∪B|A)=()
A. P(AB)
B. P(A)
C. P(B)
D. 1
答案:D

3. 下列各函数中可作为随机变量分布函数的是()
A. F1(x)=2x,0≤x≤1;0,其他
B. F2(x)=0,x<0;x,0≤x<1;1,x≥1.
C. F3(x)=-1,x<-1;x,-1≤x<1;1,x≥1
D. F4(x)=0,x<0;2x,0≤x<1;2,x≥1.
答案:B

4. 设随机变量X的概率密度为f(x)=|x|4,-2<x<2;0,其他,则P{-1<X<1}=()
A. 14
B. 12
C. 34
D. 1
答案:A

5. 设二维随机变量(X,Y)的分布律为YX-10100.10.30.210.20.10.1,则P{X+Y=0}=()
A. 0.2
B. 0.3
C. 0.5
D. 0.7
答案:C



6. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=c,-1<x<1,-1<y<1;0,其他,则常数
c=()
A. 14
B. 12
C. 2
D. 4
答案:A

7. 设随机变量X服从参数为2的泊松分布,则下列结论中正确的是()
A. E(X)=0.5,D(X)=0.5
B. E(X)=0.5,D(X)=0.25
C. E(X)=2,D(X)=4
D. E(X)=2,D(X)=2
答案:D

8. 设随机变量X与Y相互独立,且X~N(1,4),Y~N(0,1),令Z=X-Y,则E(Z2)=()
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
答案:D

9. 已知D(X)=4,D(Y)=25,Cov(X,Y)=4,则ρXY=()
A. 0.004
B. 0.04
C. 0.4
D. 4
答案:C

10. 设总体X服从正态分布N(μ,1),x1,x2,…,xn为来自该总体的样本,为样本均值
,s为样本标准差,欲检验假设H0∶μ=μ0;H1∶μ≠μ0,则检验用的统计量是()
A. -μ0s/n
B. n(-μ0)
C. -μ0s/n-1
D. n-1(-μ0)
答案:B


二、填空题(本大题共15小题,每空2分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案
。错填、不填均无分。

1. 设事件A,B相互独立,且P(A)=0.2,P(B)=0.4,则P(A∪B)=.___
答案:0.52



2. 从0,1,2,3,4五个数中任意取三个数,则这三个数中不含0的概率为.___
答案:25

3. 设P(A)=13,P(A∪B)=12,且A与B互不相容,则P()=.___
答案:56

4. 一批产品,由甲厂生产的占13,其次品率为5%,由乙厂生产的占23,其次品率为10%,从这
批产品中随机取一件,恰好取到次品的概率为.___
答案:112

5. 题中空白处应为:___




答案:0.6826

6. 设连续型随机变量X的分布函数为F(x)=1-e-3x,x>0;0,x≤0,则当x>0时,X的概率密度
f(x)=.___
答案:3e-3x

7. 设(X,Y)~N(0,0;1,1;0),则(X,Y)关于X的边缘概率密度fX(x)=.___
答案:12πe-x22(或φ(x))

8. 设(X,Y)的概率密度为f(x,y)=14xy,0≤x≤2,0≤y≤2;0,其他,则P{X≤1,Y≤1}=.___
答案:116

9. 设X~B4,12,则E(X2+1)=.___
答案:6

10. 设E(X)=2,E(Y)=3,E(XY)=7,则Cov(2X,Y)=.___
答案:2

11. 设随机变量X服从区间[0,1]上的均匀分布,由切比雪夫不等式可得PX-12≥12≤.___
答案:13

12. 设总体X~N(0,1),x1,x2,…,xn为来自该总体的样本,则统计量∑ni=1x2i的抽样分
布为.___
答案:χ2(n)

13. 设总体X~N(1,σ2),x1,x2,…,xn为来自该总体的样本,=1n∑ni=1xi,则E()=.___
答案:1

14. 设样本x1,x2,…,xn来自正态总体N(μ,9),假设检验问题为
H0∶μ=0;H1∶μ≠0,则在显著性水平α下,检验的拒绝域W=.___
答案:{|u|>uα/2},其中u=n3


15. 设0.05是假设检验中犯第一类错误的概率,H0为原假设,则P{拒绝H0|H0真}=.___
答案:0.05


三、计算题(本大题共2小题,每小题8分,共16分)

1. 设随机变量X与Y相互独立,且X,Y的分布律分别为
X01P1434,
Y12P2535,



试求:(1)二维随机变量(X,Y)的分布律;(2)随机变量Z=XY的分布律
答案:解:(1)由独立性得(X,Y)的分布律为
Y
X1201103201310920;(4分)



(2)Z的全部可能值为0,1,2.
Z的分布律为
Z012P14310920.(8分)

2. 设P(A)=0.4,P(B)=0.5,且P(|)=0.3,求P(AB).
答案:解法一:由P(|)=0.3知P()P(B)=0.3,(1)(2分)
但P()=P(A∪B)=1-P(A∪B)
=1-P(A)-P(B)+P(AB)
=1-0.4-0.5+P(AB)
=0.1+P(AB),(5分)
将上面结果代入(1)式计算得P(AB)=0.05.(8分)
解法二:由P(|)=1-P(A|)(2分)
=1-P(A)P(B)=1-P(A)-P(AB)P(B)
=0.3,(5分)
故P(A)-P(AB)1-P(B)=0.7,(6分)
将P(A),P(B)的值代入上式可算得P(AB)=0.05.(8分)


四、综合题(本大题共2小题,每小题12分,共24分)

1. 设随机变量X的概率密度为f(x)=cx2,-2≤x≤2;0,其他
试求:(1)常数c;(2)E(X),D(X);(3)P{|X-E(X)| < D(X)}
答案:解:(1)由∫+∞-∞f(x)dx=1得
c∫2-2x2dx=163c=1,
故c=316;(2分)
(2)E(X)=∫+∞-∞xf(x)dx=∫2-2316x3dx=0,(4分)
E(X2)=∫+∞-∞x2f(x)dx=∫2-2316x4dx=125,(6分)




D(X)=E(X2)-(E(X))2=125;(7分)

(3)P{|X-E(X)|<D(X)}=P|X|<125=P-125<X<125(9分)
=∫2-2316x2dx=1.(12分)

2. 一台仪器装有6只相互独立工作的同类电子元件,其寿命X(单位:年)的概率密度为
f(x)=13e-x3,x>00,x≤0,
且任意一只元件损坏时这台仪器都会停止工作,试求:
(1)一只元件能正常工作2年以上的概率;
(2)这台仪器在2年内停止工作的概率.
答案:解:(1)P{X>2}=∫+∞213e-x3dx(2分)
=-ex3+∞2
=e-23.(6分)
(2)令Y表示6只电子元件中能正常工作2年以上的只数,则
Y~B(6,e-23),(9分)
1-P{Y=6}=1-C66(e-23)6=1-e-4.(12分)


五、应用题(共10分)

1. 用传统工艺加工某种水果罐头,每瓶中维生素C的含量为随机变量X(单位:mg).设
X~N(μ,σ2),其中μ,σ2均未知.现抽查16瓶罐头进行测试,测得维生素C的平均含量为
2080mg,样本标准差为1.60mg,试求μ的置信度95%的置信区间.(附
:t0.025(15)=2.13,t0.025(16)=2.12.)
答案:解:由题设,μ的1-α置信区间为
-sntα2(n-1),+sntα2(n-1).(2分)
由α=0.05,n=16,=20.80,s=1.60知μ的95%置信区间为
20.80-1.6016×2.13,20.80+1.6016×2.13(8分)
=[19.948,21.652](或[19.95,21.65]).(10分)

......
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