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浙江省2008年4月自考复变函数试题
课程代码：10019
一、填空题(本大题共8小题，每空2分，共16分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1.设z=x+iy，则|ei-2z|=________；
2.方程z=(1+i)t（t是实参数）给出的曲线是________；
3.关系式所表示的z点的轨迹是________；
4.=________，其中C表示以a为圆心，ρ为半径的圆周，而n为整数；
5.设区域D的边界是周线C，f（z）在D内解析，在=D+C上连续，则有柯西积分公式f(z)=________(z∈D)；
6.当|z|＜1时，幂级数1+z+z2+…+zn-1+…的和函数为________；
7.设在圆环K：r＜|z-a|＜R（0＜r＜R＜+∞）上有表示式f(z)=，则cm=________(m=0,±1,…)；
8.如果f(z)________，则称f(z)在点z0解析。
二、判断题（本大题共7小题，每小题2分，共14分）
判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。
1.z=0是函数的二级极点.( )
2.设z是复数，δ＞0,若|z-z0|＜δ，则|z0|-δ＜|z|＜|z0|+δ.( )
3.若解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则f′(z)=ux+ivx.( )
4.以指数形式表示的两个复数reiθ和ρeiφ相等的充要条件是r=ρ，θ=φ.( )
5.ez以2πi为基本周期的周期函数。( )
6.若z0是f(z)的本性奇点，则z0也是的本性奇点.( )
7.f(z)的孤立奇点a为可去奇点的充要条件是函数f(z)在点a的某个去心邻域内有界.( )
三、完成下列各题（本大题共6小题,每小题5分，共30分）
1.设z1=，试用指数形式表z1z2及.
2.试证函数x+y在z平面上任何点都不解析.
3.试证函数f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i在z平面上解析，并分别求出其导函数.
4.不用计算，验证积分之值为零，其中C均为单位圆周|z|=1.
5.证明级数收敛.
6.求下列函数f(z)=在z=±1的留数.
四、（本大题10分）
求出函数的奇点，并确定其类别（对于极点，要指出它们的级），对于无穷远点也要加以讨论.
五、(本大题10分)
证明代数学基本定理：n次多项式（n≥1）至少有一个零点.
六、(本大题10分)
在原点的邻域内函数f(z)满足(n=1,2,…)
证明函数f(z)在原点不解析.
七、(本大题10分)
变换w=将z平面上的带形区域0＜Im z＜π变成w平面上什么区域？为什么？
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