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浙江省2008年7月复变函数真题
课程代码：10019
一、填空题(本大题共8小题，每空2分，共16分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1．复数1-cos +isin (0＜≤π) 的指数形式为 ______ ；
2．方程 z=x+iy=t2+（t 是实参数）给出的曲线是 ______ ；
3．函数w= 将z平面上的曲线 (x-1)2+y2=1变成 w平面上的______；
4．∫cdz= ______ ，其中C 是连接起点为 a终点为 b的一条简单曲线；
5．刘维尔定理： ______；
6．（平均值定理）如果函数f(z) 在圆｜z-z0｜＜R 内解析，在 ｜z-z0｜≤R上连续，则
f(z0)=______ ；
7．方程z7-5z4+z2-2=0 在单位圆内有______个根．
8．幂函数 w=ez将带形区域 d∶0＜Im z＜π共形映射成区域D ： ______．
二、判断下列命题之真伪（本大题共7小题，每小题2分，共14分）
判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。
1．=0．( )
2．设 z是复数，δ＞ 0, 若｜z-z0｜＜ δ，则z0-δ＜z＜z0+δ ．( )
3．若 f(z)在区域D 内可微，则f(z) 在区域D 内具有任意阶导数．( )
4．两个复数 z1,z2相等的充要条件是 ｜z1｜=｜z2｜且Argz1=Argz2. ( )
5．f(z) 在点 z0解析的充要条件是 f(z)在点z0 的某个邻域可展成泰勒级数。( )
6．若z0 是f(z) 的孤立奇点，f(z)=∞ ，则z0 是f(z) 的本性奇点．( )
7．连续函数 f(z)在单连通区域D 解析的充要条件是，对D 内任一条周线C ，有
∫c f(z)dz=0 ．( )
三、完成下列各题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1．设z=，求｜z｜ 及Argz ．
2．试证函数在z 平面上任何点都不解析．
3．若函数f(z) 在区域D内解析，在D内f′(z)=0 ，试证f(z) 在D内必为常数．
4．不用计算，验证积分∫c之值为零，其中C均为单位圆周｜z｜=1 ．
5．将函数 ez2dz展成z 的幂级数，并指出展式成立的范围．
6．将函数在圆环0＜｜z｜＜1 内展为洛朗级数．
四、（本大题10分）
求 dz之值．
五、（本大题10分）
求出函数tan2z 的奇点，并确定其类别（对于极点，要指出它们的级），对于无穷远点也要加以讨论．
六、（本大题10分）
求函数 f(z)= 在点z=±1,∞ 的留数．
七、（本大题10分）
求将 2，i ，-2 对应地变成-1 ，i ，1 的分式线性变换。
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