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浙江省2008年4月自考常微分方程试题
课程代码：10002
一、填空题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1.设初值问题,且f(x,y)在给定的区域内连续并满足利普希茨条件,则初值问题的解_________.
2.齐次方程y(n)+a1(x)y(n-1)+…an-1(x)y′+an(x)y=0的n个解函数在其定义区间上线性无关的充要条件是其伏朗斯基行列式W(t)_________.
3.设有方程组=AX的任意两个基解矩阵(t),ψ(t),则它们之间成立如下关系_________.
4.已知y″+p(x)y′+q(x)y=0的一特解为y1(x),则其另一个与其线性无关的解可表示为_________.
5.形如y′=p(x)y+q(x)（其中p(x)、q(x)为连续函数）的方程称为一阶线性方程,通解可表为_________.
6.用逐次逼近法求的第二次近似解_________.
7.形如y=xy′+f()的方程称为克莱罗方程,通解为_________.
8.已知+b1(x)y″+b2(x)y′+b3(x)y=0的解为y1(x),y2(x),y3(x)且线性无关,则Y1=，Y2=，Y3=是方程组_________的解,且Y1(x),Y2(x),Y3(x)线性无关.
9. X′=A(t)X(A(t)为n阶阵)有且仅有_________个线性无关解.
10.欧拉方程=0,(a1,a2…an为常数),通过_________变换可化为常系数方程.
11.对方程组X′=F(X),若存在定正函数V(x),则当_________,方程组的零解是稳定的.
12.线性系统奇点的类型为_________.
二、求下列方程的解(本大题共6小题，每小题8分，共48分)
1.
2.ydx+(y-x)dy=0
3.y″+y=2sin x
4.y″+y=
5.xy″-y′=0
6.已知A=,试求方程组x′=Ax的一个基解矩阵.
三、证明题(本大题8分)
试导出并证明方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0具有形如μ=μ(y)积分因子的充要条件.
四、讨论题(本大题8分)
设方程=0,其中f(0)=0,当x≠0时xf(x)>0,试将其化为二阶方程组,并用形如V（x,y）=y2+的李雅普诺夫函数判定零解的稳定性.
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