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浙江省2002年4月高等教育自学考试
常微分方程试题
课程代码：10002
一、填空题(每小题3分，共39分)
1.常微分方程中的自变量个数是________.
2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________.
3.微分方程=g()中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变量分离方程.
4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式为x=(t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________.
5.方程=(x+1)3的通解为________.
6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h上的连续解.
7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________.
8.方程+a1(t) +…+an-1(t) +an(t)x=0
中ai(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，xn(t)为方程n个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________.
9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________.
10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，xn(t)是方程组x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式.
11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之等价的一阶方程组________.
12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基解矩阵expAt=________.
13.方程组
的奇点类型是________.
二、计算题(共45分)
1.(6分)解方程
=.
2.(6分)解方程
x″(t)+ =0.
3.(6分)解方程
(y-1-xy)dx+xdy=0.
4.(6分)解方程
-.
5.(7分)求方程：
S″(t)-S(t)=t+1
满足S(0)=1, (0)=2的解.
6.(7分)求方程组
的基解矩阵Φ(t).
7.(7分)验证方程：
有奇点 x1=1, x2=0,并讨论相应驻定方程的解的稳定性.
三、证明题(每小题8分，共16分)
1.设f(x,y)及连续， 试证方程
dy-f(x,y)dx=0
为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子.
2.函数f(x)定义于-∞<x<+∞，且满足条件|f(x1)-f(x2)|≤N|x1-x2|,其中0<N<1,证明方程
x=f(x)
存在唯一的一个解.
浙江省2002年4月高等教育自学考试
常微分方程试题参考答案
课程代码：10002
填空题(每小题3分，共39分)
1
2.2+c1t+c2
3.u=
4. c为任意常数
5.y=(x+1)4+c(x+1)2
6.y=y0+
7.(x)=
8.对任意t
9.x(t)=c1et+c2tet+c3e-t+c4te-t
10.x(t)=c1x1(t)+c2x2(t)+cnxn(t)
11. x1(1)=1,x2(1)=2, x3(1)=3
12.expAt=e-2t[E+t(A+2E)+]
13.焦点
计算题（共45分）
解：
......
......
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