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浙江省2008年7月自考常微分方程真题
课程代码：10002
一、填空题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1.若微分方程为线性微分方程，则=________.
2.微分方程有不平行于x轴的直线积分曲线，此直线积分曲线为
y=________.
3.一阶微分方程
，
这里f(x),(y)分别是x,y的连续函数，如果(y)≠0，则方程的通解为________.
4.如果f(x,y)在R:|x-x0|≤a,|y-y0|≤b上连续，且关于y满足利普希茨条件.则方程定义于|x-x0|≤h上，满足初始条件(x0)=y0的连续解存在且唯一，这里M=_________.
5.方程中a1,a2,…,an为常数，又设λ1,λ2,…，λn是方程n个不相等的特征根，则方程的通解为________.
6.常系数线性方程的通解为________.
7.若二阶齐线性方程中xP(x)和x2q(x)均能展开成x的幂级数，且收敛区间为|x|<R，则方程有形如y=________的特解，式中的α是一个待定的常数.
8.A是４×4的常数矩阵，它的特征方程为(λ+1)(λ+2)3=0，方程组x′=Ax满足初始条件
(0)＝η的解
(t)=e-tv1+e-2t〔__________________〕v2
其中v1满足方程(A+E)v1=0 v2满足方程(A+2E)3v2=0且v1+v2=η.
9.设矩阵A=，则方程组=Ax的基解矩阵 expAt=______________.
10.对矩阵A=已算得λ=3是A的二重特征值，则方程=Ax
的基解矩阵expAt=____________________________.
11.方程组的奇点类型是________.
12.用李雅普诺夫函数V(x,y)=x2+y2 可确定方程组
的零解稳定性为________.
二、计算题(本大题共8小题，每小题7分，共56分)
1.解方程
.
2.解方程
.
3.解方程
.
4.解方程
.
5.求方程
通过点(0，0)的二次近似解.
6.求方程
x″+x′-2x=8sin2t
满足x(0)=0,(0)=0的解.
7.求方程组
的基解矩阵Φ(t).
8.已知方程组
的零解渐近稳定，求μ的取值范围.
三、证明题(本大题8分)
如果ai(t) i=1,2,…，n是区间a≤t≤b上的连续函数，x1(t),x2(t),…，xn(t)是方程
在区间〔a,b〕上线性无关的解.则其伏朗斯基行列式W(t)在a≤t≤b上都不等于零.
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